La gravitazione e le leggi di Keplero

E' da notare come la legge di gravitazione non solo dia una spiegazione della leggi di Keplero, ma addirittura le renda matematicamente necessarie: con opportune trasformazioni dalla formula della gravitazione possiamo derivare le formule che esprimono le leggi di Keplero. Ciò non è del tutto vero per la terza legge, quella dei cubi dei semiassi e dei quadrati dei periodi. Infatti la formula esatta, derivata dalla legge di gravitazione, è:

a³ / P² = k · ( m_S + m_p )

Ciò significa che nel sistema solare la somma della Massa solare m_S + la Massa del pianeta m_p è direttamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore ed inversamente proporzionale al quadrato del periodo (dell'orbita planetaria).

La terza legge di Keplero è valida con buona approssimazione perché la massa del pianeta è molto piccola rispetto a quella del Sole per cui m_S+m_p è praticamente costante per tutti i pianeti.

Nella tabella ci sono delle piccole discrepanze tra i valori del cubo della distanza e del quadrato del periodo per i pianeti Marte, Giove e Saturno, che derivano da due cause: l'arrotondamento e le misurazioni poco precise.

Ho rifatto la tabella con le misure più precise riportate nel volume di Margherita Hack "Vi racconto l'astronomia", uscito nel 2005 e quindi aggiornato con le ultime rilevazioni (in quel volume la distanza media dal Sole è riportata in milioni di Km ed anche in Unità Astronomiche, dove 1 U.A. = 149 milioni di Km):

Osservando la Tabella si vede che le differenze di ciascun pianeta non raggiungono neanche l'uno per mille: questo rientra nei limiti di errore previsti dalla successiva legge della gravitazione di Newton: il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore e il quadrato del periodo varia in dipendenza della somma della massa del Sole più la massa del pianeta.