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la misura dell'Universo

2. Gli antichi Greci: la misura della distanza della Luna

Dopo aver stabilito che il Sole è molto lontano, ci si chiese: la Luna ha la stessa grandezza, sarà alla stessa distanza?

CALCOLO CON LA QUADRATURA

Aristarco di Samo nel III sec. a.C. cercò una risposta osservando la Luna in fase di quadratura, cioè quando l'angolo Luna-Terra-Sole è di 90°. In questa situazione la Luna é illuminata per metà ed il confine tra luce ed ombra (il terminatore) appare diritto.
Cominciamo col supporre che il Sole sia alla stessa distanza della Luna. In A vediamo come la Luna sarebbe illuminata e in B e C come apparirebbe dalla Terra: il terminatore è curvo. Poiché appare diritto ne dedusse che il Sole deve essere molto più lontano e che pertanto i suoi raggi arrivano praticamente paralleli sulla Terra e sulla Luna. Cercò anche di stimare la sua distanza osservando che il terminatore deve essere perfettamente diritto quando l'angolo Terra-Luna-Sole é di 90° e l'angolo Luna-Terra-Sole è minore di 90°: questo avviene un po' prima della quadratura.

Aristarco trovò per l'angolo Luna-Terra-Sole un'ampiezza di 87°: poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre di 180°, il terzo angolo sarà di 180-90-87 = 3°.
Conoscendo i tre angoli si può disegnare un triangolo simile sul quale si può misurare il rapporto tra il lato Terra-Sole e il lato Terra-Luna; sulla base delle misure effettuate calcolò la distanza del Sole 20 volte maggiore di quella della Luna. Oggi sappiamo che il rapporto è di 400 perché quell'angolo è in realtà di 89,85°. Il procedimento era giusto ma l'errore fu causato dalla difficoltà di individuare il momento esatto e di misurare esattamente l'angolo col Sole.

UN METODO GRAFICO

Per misurare la grandezza della Luna e la sua distanza dalla Terra si può usare un semplice metodo grafico osservando, durante un'eclisse di Luna, le dimensioni relative della Luna e dell'ombra della Terra. L'unica difficoltà è quella di disegnare in scala i due cerchi (Luna e ombra terrestre) ma ci si può riuscire aiutandosi con una lastra trasparente e completando il cerchio dell'ombra basandosi su quella parte che si proietta sulla Luna. 
Ma quanto è grande l'ombra della Terra sulla Luna? Se l'ombra non varia al variare della distanza allora l'ombra della Terra sulla Luna è grande come la Terra stessa. Così possiamo disegnare i due corpi in proporzione ed abbiamo già le dimensioni relative di Terra e Luna, che disegniamo, sempre in scala, su un foglio abbastanza grande. Ora dal centro della Terra tracciamo un angolo di mezzo grado (il diametro angolare della Luna vista dalla Terra) e collochiamo il cerchio che rappresenta la Luna in modo che sia compreso esattamente in quell'angolo: possiamo ora conoscere la distanza Terra-Luna espressa in diametri terrestri.

UN METODO PIÙ PRECISO

E' quello usato nel 270 a.C. da Aristarco il quale, dopo aver misurato la durata di un'eclisse di Luna calcolò la circonferenza dell'orbita lunare e quindi il suo raggio, che è la distanza Terra-Luna. 
Un'eclisse di Luna si verifica quando la Luna passa nell'ombra della Terra, in posizione opposta al Sole (e quindi deve essere Luna piena). Poniamo come prima che l'ombra della Terra sulla Luna sia uguale alla Terra stessa e misuriamo quanto tempo impiega il centro della Luna ad attraversare il diametro dell'ombra terrestre. E' facile dedurre che il tempo che la Luna impiega a percorrere tutta la sua orbita intorno alla Terra, diviso il tempo impiegato ad attraversare il diametro dell'ombra terrestre ci dirà quante volte la lunghezza dell'orbita, cioè la sua circonferenza, è maggiore del diametro terrestre. Trovata la circonferenza dell'orbita lunare basta dividere per 2p per calcolare il suo raggio, che è la distanza dalla Terra.

ESEMPIO DI CALCOLO COL TEMPO DI ECLISSE:
- il centro della Luna attraversa l'ombra della Terra (diametro) in 3 ore;
- il centro della Luna percorre la sua orbita in 30 giorni = 720 ore, per cui la circonferenza dell'orbita è 720/3 = 240 diametri terrestri;
- il raggio dell'orbita (la distanza dalla Terra) sarà di 240/6,28 = circa 38 diametri terrestri.
In realtà i valori di tempo sono diversi per cui si arriva vicino ai 30 diametri terrestri.

IL DIAMETRO DELLA TERRA

Dopo le stime della distanza della Luna in diametri terrestri, bisognava misurare la grandezza della Terra: ci riuscì Eratostene di Cirene (II-III sec. a.C.) con due osservazioni del Sole da Siene (a sud di Assuan) e da Alessandria d'Egitto.
A mezzogiorno del 21 giugno (solstizio d'estate) il Sole é allo Zenit a Siene ma non ad Alessandria, che è più a Nord: ad Alessandria l'angolo che il Sole fa con la verticale risulta di 7,2°.
Posto che i raggi solari arrivano paralleli su tutta la Terra una facile geometria (rette parallele tagliate da una trasversale) ci dice che 7,2° è anche la distanza angolare tra i due luoghi sulla circonferenza terrestre. Nota la distanza Siene-Alessandria (km 800, misurata a passi di cammello) la Circonferenza terrestre = 800 : 7,2 x 360 = Km 40.000, da cui il diametro terrestre di km 12.730.

Ma come faceva Eratostene a sapere quando era mezzogiorno? A mezzogiorno il Sole raggiunge la massima altezza della giornata e si trova esattamente a Sud. Piantando in terra un'asta verticale (usare il filo a piombo) e poi registrando in giorni diversi l'ombra più corta prodotta ogni giorno, si vede che tutti i segni indicano la stessa direzione: il Nord. Che il Sole sia allo Zenit si può rilevare dal fatto che si riflette sul fondo di un pozzo perfettamente verticale.

IL CALCOLO DI IPPARCO

Nel 135 a.C. Ipparco di Nicea calcolò la distanza della Luna mediante osservazioni contemporanee da due luoghi diversi, un po' come Eratostene per il diametro della Terra ma non con lo stesso procedimento.
Infatti Eratostene "finse" che i raggi del Sole arrivassero paralleli su tutta la Terra: erano "quasi" paralleli, causando un piccolo errore. La Luna invece è molto più vicina del Sole (oggi sappiamo che la Luna dista 30 diametri terrestri e che il Sole è 400 volte più lontano, cioè 12.000 diametri terrestri), per cui supponendo paralleli i suoi raggi Ipparco avrebbe commesso un errore troppo grande. Se facciamo una sfera di un metro la dobbiamo mettere alla distanza di 12 Km per vederla come dal Sole si vedrebbe la Terra. Per la Luna la dobbiamo mettere soltanto a 30 metri; la sfera sarà ben visibile e se guardiamo il polo Nord dovremo spostare lo sguardo in basso per fissare il polo Sud: i raggi che congiungono l'occhio alla sfera sono molto lontani dall'essere paralleli.

Ipparco calcolò la distanza della Luna mediante osservazioni di un'eclisse di Sole effettuate ad Alessandria d'Egitto e in Ellesponto (i Dardanelli). Mentre dall'Ellesponto l'eclisse era totale da Alessandria era soltanto parziale: si poté stimare che restasse scoperto 1/5 del diametro solare: 0,10° pari a 6' d'arco.
Essendo nota la distanza tra l'Ellesponto e Alessandria (circa 1.100 km, vedi il calcolo delle distanze terrestri) il triangolo Luna-Ellesponto-Alessandria è definito e la distanza della Luna si calcola in 384.000 Km. A causa di inevitabili imprecisioni nelle misurazioni Ipparco ottenne per la Luna un valore sovrastimato di appena il 7%.
Provò anche a calcolare la distanza del Sole trovando però che la distanza doveva essere pari a 1.100 volte il raggio terrestre (in realtà è 23.500 volte) e concluse che il globo del Sole doveva essere almeno 5 volte più grande della Terra, affermazione comunque rivoluzionaria se si tiene conto che al Sole venivano attribuite le dimensioni del Peloponneso. Ora sappiamo che il Sole è troppo lontano per poterne misurare la distanza con questi metodi.

LE DIMENSIONI DELLA LUNA

Dopo aver calcolato la distanza della Luna, che in cielo appare larga mezzo grado, si può calcolare il suo diametro in km, sempre facendo ricorso al triangolo.

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